Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ ∫ T   x y   d V ,   o n d e   T   é   o   t e t r a e d r o   s ó l i d o   c o m   v é r t i c e s   0,0 , 0 , 1 3 , 0,0 , 0,1 , 0   e   0,0 , 1

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: T   é   o   t e t r a e d r o   s ó l i d o   c o m   v é r t i c e s   0,0 , 0 , 1 3 , 0,0 , 0,1 , 0   e   0,0 , 1   . Essa região pode ser descrita como

Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

∫ 0 1 / 3 ∫ 0 1 - 3 x ∫ 0 1 - 3 x - y x y   d z   d y   d x

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 1 / 3 ∫ 0 1 - 3 x ∫ 0 1 - 3 x - y x y   d z   d y   d x

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 1 - 3 x - y x y   d z = x y z 0 1 - 3 x - y = x y ⋅ 1 - 3 x - y = x y - 3 x 2 y - x y 2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 / 3 ∫ 0 1 - 3 x x y - 3 x 2 y - x y 2   d y   d x

Novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 0 1 - 3 x x y - 3 x 2 y - x y 2   d y = x y 2 2 - 3 x 2 y 2 2 - x y 3 3 0 1 - 3 x

= 1 2 x ⋅ 1 - 3 x 2 - 3 x 2 2 ⋅ 1 - 3 x 2 - x 3 ⋅ 1 - 3 x 3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 3 1 2 x ⋅ 1 - 3 x 2 - 3 x 2 2 ⋅ 1 - 3 x 2 - x 3 ⋅ 1 - 3 x 3   d x =

∫ 0 1 3 1 6 ⋅ x - 3 2 ⋅ x 2 + 9 2 ⋅ x 3 - 9 2 ⋅ x 2   d x =

x 2 12 - x 3 2 + 9 x 4 8 - 9 x 5 10 0 1 3 = 1 1080

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

1 1080

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