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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 24

Calcule o valor da integral múltipla.

int int int_T x y d V , o n d e T é o t e t r a e d r o s ó l i d o c o m v é r t i c e s (0,0 , 0) , ((1)/(3) , 0,0) , (0,1 , 0) e (0,0 , 1)

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: T é o t e t r a e d r o s ó l i d o c o m v é r t i c e s (0,0 , 0) , ((1)/(3) , 0,0) , (0,1 , 0) e (0,0 , 1) . Essa região pode ser descrita como

Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

int_0^(1 // 3) int_0^(1 - 3 x) int_0^(1 - 3 x - y) x y d z d y d x

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

int_0^(1 // 3) int_0^(1 - 3 x) int_0^(1 - 3 x - y) x y d z d y d x

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^(1 - 3 x - y) x y d z = [x y z]_0^(1 - 3 x - y) = x y * (1 - 3 x - y) = x y - 3 x^2 y - x y^2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

int_0^(1 // 3) int_0^(1 - 3 x) x y - 3 x^2 y - x y^2 d y d x

Novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter

int_0^(1 - 3 x) x y - 3 x^2 y - x y^2 d y = [(x y^2)/(2) - (3 x^2 y^2)/(2) - (x y^3)/(3)]_0^(1 - 3 x)

= (1)/(2) x * (1 - 3 x)^2 - (3 x^2)/(2) * (1 - 3 x)^2 - (x)/(3) * (1 - 3 x)^3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

int_0^((1)/(3)) (1)/(2) x * (1 - 3 x)^2 - (3 x^2)/(2) * (1 - 3 x)^2 - (x)/(3) * (1 - 3 x)^3 d x =

int_0^((1)/(3)) ((1)/(6) * x - (3)/(2) * x^2 + (9)/(2) * x^3 - (9)/(2) * x^2) d x =

[(x^2)/(12) - (x^3)/(2) + (9 x^4)/(8) - (9 x^5)/(10)]_0^((1)/(3)) = (1)/(1080)

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

(1)/(1080)

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Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = 4 - x 2 - 4 z 2 ,y = 0
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y = x 2 ,z = 0 ,y + 2 z = 4
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd xd zd y
Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simetria. ∭ C 4 + 5 x 2 y z 2d V , onde C é a região cilíndrica x 2 + y 2 ≤ 4 , - 2 ≤ z ≤ 2 .