Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 46
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!
Para resolver essa questão, precisamos identificar e desenhar a região no plano . Depois vamos inverter a ordem de integração e resolver a integral na nova ordem.
Primeiro passo é esboçar a região no plano :
Os limites de são de a , e os limites de variam de a . A região de integração é a área abaixo da linha e acima da parábola , entre e .
Passo 2
Então, vamos inverter o intervalo de integração, para isso, vamos analisar a mesma região com os limites de e trocados:
- varia de a .
- varia de a .
Ficaremos com a integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral na nova ordem, resolvendo de dentro para fora:
Primeiro, integramos em relação a :
Substituímos na integral externa:
Simplificamos a constante:
Passo 4
Mudando os limites de integração:
- Quando , .
- Quando , .
Portanto, a integral se torna:
Agora, integramos em relação a :