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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7i

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de x^2 a 1 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , x^2 <= y <= 1}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Pode-se observar que a região é limitada por uma parábola e por uma reta dadas pelas equações:

y <= 1

E

y >= x^2

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x <= sqrt(y)

Então, dividindo a figura em duas partes e redefinindo essas inequações, tem-se:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^1 [int_(x^2)^1 f (x , y) d y] d x = int_0^1 [int_0^(sqrt(y)) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^1 [int_0^(sqrt(y)) f (x , y) d x] d y

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