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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7h

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que y varia de 0 a 1 , para cada valor de y fixo em [ 0 , 1 ] , x varia de y - 1 a 2 - 2 y . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= y <= 1 , y - 1 <= x <= 2 - 2 y}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando y em função de x , resulta em duas retas:

y = x + 1

E

y = 1 - (x)/(2)

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^1 [int_y^(y + 3) f (x , y) d x] d y = int_(- 1)^0 [int_0^(x + 1) f (x , y) d y] d x + int_0^2 [int_0^(1 - x // 2) f (x , y) d y] d x

Resposta

int_(- 1)^0 [int_0^(x + 1) f (x , y) d y] d x + int_0^2 [int_0^(1 - x // 2) f (x , y) d y] d x

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