Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de - 1 a 1 , para cada valor de x fixo em [ - 1 , 1 ] , y varia de - sqrt(1 - x^2) a sqrt(1 - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | - 1 <= x <= 1 , - sqrt(1 - x^2) <= y <= sqrt(1 - x^2)}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Pode-se observar que a região é uma circunferência de raio r = 1 dado pela equação:

x^2 + y^2 <= 1

Que, reescrevendo e deixando x em função de y , resulta em:

x <= sqrt(1 - y^2)

Passo 3

Portanto, como as equações das retas y = +- sqrt(1 - x^2) podem ser reescritas como x = +- sqrt(1 - y^2) , invertendo a ordem de integração temos:

int_(- 1)^1 [int_(- sqrt(1 - x^2))^(sqrt(1 - x^2)) f (x , y) d y] d x = int_(- 1)^1 [int_(- sqrt(1 - y^2))^(sqrt(1 - y^2)) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_(- 1)^1 [int_(- sqrt(1 - y^2))^(sqrt(1 - y^2)) f (x , y) d x] d y

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