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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7n

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 1 ] , y varia de sqrt(x - x^2) a sqrt(2 x) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , sqrt(x - x^2) <= y <= sqrt(2 x)}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = (y^2)/(2)

E, como a outra resulta em uma função do segundo grau, devem ser determinadas as raízes do função:

x^2 - x + y^2 = 0 -> x = (1 +- sqrt(1 - 4 y^2))/(2)

Assim, reorganizando as variáveis no esboço:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^1 [int_(sqrt(x - x^2))^(sqrt(2 x)) f (x , y) d y] d x = int_0^(1 // 2) [int_(y^2 // 2 )^((1 - sqrt(1 - 4 y^2)) // 2) f (x , y) d x] d y

+ int_0^(1 // 2) [int_((1 + sqrt(1 - 4 y^2)) // 2)^1 f (x , y) d x] d y + int_(1 // 2)^(sqrt(2)) [int_(y^2 // 2)^1 f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^(1 // 2) [int_(y^2 // 2 )^((1 - sqrt(1 - 4 y^2)) // 2) f (x , y) d x] d y

+ int_0^(1 // 2) [int_((1 + sqrt(1 - 4 y^2)) // 2)^1 f (x , y) d x] d y + int_(1 // 2)^(sqrt(2)) [int_(y^2 // 2)^1 f (x , y) d x] d y

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