Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular a integral do Exercício abaixo:

4-

∫ x 2 x + 3 3 2 d x

Passo 1

Observação: Algumas fórmulas não fora encontradas no livro conforme indica no enunciado, portante foi utilizado um outro método de resolução da integral.

Utilizando o método de substituição teremos:

u = 2 x + 3 ; d u = 2   ; d x = 1 d u = 1 2

Se u = 2 x + 3 então 2 x = u - 3 ; x = u - 3 2

Substituindo:

∫ x u 3 2 ⋅ 1 2 d u =   ∫ x 2 x + 3 2 x + 3 ⋅ 1 2 d x = 1 2 ∫ x 2 x + 3 2 x + 3 d x 1 2 ∫ u - 3 2 ( u u ) d u = 1 4 ∫ u - 3 u u d u

Assim:

1 4 ∫ u - 3 u ⋅ u 1 2 d u = 1 4 ∫ u - 3 u 3 2 d u = 1 4 ∫ u u 3 2 - 3 u 3 2 d u = 1 4 ∫ 1 u 1 2 d u - 1 4 ∫ 3 u 3 2 d u

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

1 4 ∫ 1 u 1 2 d u

Utilizando a fórmula:

∫ 1 x n d x =   - 1 n - 1 ⋅ x n - 1

Assim:

1 4 ∫ 1 u 1 2 d x = 1 4 - 1 1 2 - 1 ⋅ u 1 2 - 1 = 1 4 - 1 - 1 2 ⋅ u - 1 2 = 1 4 2 u 1 2 = 2 u 4 = u 2 + C

Resolvendo a segunda integral:

- 1 4 ∫ 3 u 3 2 d u

Utilizando a mesma fórmula da integral anterior:

∫ 1 x n d x =   - 1 n - 1 ⋅ x n - 1

Teremos assim:

- 1 4 - 6 u = 6 4 u = 3 2 u

Passo 3

Juntando o resutado das integrais:

u 2 + 3 2 u + C

Para u = 2 x + 3

1 2 2 x + 3 + 3 2 2 x + 3 + C

Resposta

1 2 2 x + 3 + 3 2 2 x + 3 + C

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