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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 11

Suponha que g tenha derivada contínua em [ 0 , + ∞ [ e que g 0 = 0 . Verifique que:

∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g x e - s x + s ∫ 0 x g t e - s t d t

Passo 1

Vamos usar a integração por partes assim:

u = e - s t → d u = - s e - s t d x   e   v = g t → d v = g ´ t d x

Aplicando a integração por partes, temos:

∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g t e - s t x 0 - ∫ 0 x g t - s e - s t d t

Passo 2

Agora aplicando o teorema fundamental do cálculo teremos:

∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g x e - s x - g 0 e - s 0 + s ∫ 0 x g t e - s t d t

∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g x e - s x - 0 e + s ∫ 0 x g t e - s t d t

∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g x e - s x + s ∫ 0 x g t e - s t d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e t sin ⁡ α t - 3 d t
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