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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 8a

Sejam m   e   n dois naturais diferentes de zero. Verifique que:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 + x m - 1 d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, x n e 1 - x m vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Sempre que tivermos um polinômio, é preferível escolher o polinômio como u , nesse caso:

u = 1 - x m → d u = - m 1 - x m - 1 d x   e   v = x n + 1 n + 1 → d v = x n d x

Vai ficar assim:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = 1 - x m x n + 1 n + 1 - ∫ x n + 1   n + 1 ( - m 1 - x m - 1 d x 1 0

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = 1 - x m x n + 1 n + 1 + m n + 1 ∫ x n + 1 1 - x m - 1 d x 1 0

Passo 2

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F x é uma primitiva de f t , então podemos dizer que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Então vamos usar que o nosso F x = 1 - x m x n + 1 n + 1 + m n + 1 ∫ x n + 1 1 - x m - 1 d x , e a = 0   e   b = 1 :

1 - 1 m 1 n + 1 n + 1 - 1 - 0 m 0 n + 1 n + 1 + m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1 d x =

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = 0 - 0 + m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1 d x =

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1 d x

Resposta

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1 d x

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