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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 7b

Calcule:

int_1^2 ln x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, d x e ln x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

int u d v = u v - int v d u

Assim, vamos usar:

u = ln x -> d u = (1)/(x) d x e v = x -> d v = d x

Porque é mais fácil usar assim, já que v = x -> d v = d x :

int_1^2 ln x d x = [x ln x - int (1)/(x) x d x] (2)/(1)

O contrário disso é muito complicado, porque se estamos usando integração por partes nesse caso, é justamente porquê não sabemos a primitiva de ln x

Passo 2

int_1^2 ln x d x = [x ln x - int (1)/(x) x d x] (2)/(1)

Agora que temos o lado direito da igualdade, vamos resolver:

int_1^2 ln x d x = [x ln x - int 1 d x] (2)/(1) = [x ln x - x] (2)/(1)

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F (x) é uma primitiva de f (x) , então podemos dizer que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Então vamos usar que o nosso F (x) = x ln x - x , e a = 1 e b = 2 :

int_1^2 ln x d x = 2 ln 2 - 2 - ((1) ln 1 - ln 1)

Lembrando que ln 1 = 0

int_1^2 ln x d x = 2 ln 2 - 2 - (0 - 0)

int_1^2 ln x d x = 2 ln 2 - 2

Resposta

int_1^2 ln x d x = 2 ln 2 - 2

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