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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 9

Uma partícula move-se com uma velocidade de v t   m / s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

  1. v t = s e n   t ,     0 ≤ t ≤ π 2
  2. v t = cos ⁡ t ,   π 2 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

  1. Deslocamento:

    2. ∫ 0 π 2 s e n   t   d t = - cos ⁡ t 0 π 2 =   - 0 + 1 = 1 m

    O deslocamento então foi de 1 m .

    E a distância?

    d i s t â n c i a = ∫ 0 π 2 | s e n   t |   d t = - cos ⁡ t 0 π 2 = 1 m  

    Prontinho! Aqui já foi😉

    Passo 3

  2. Bora fazer a mesma coisa:

d e s l o c a m e n t o = ∫ π 2 2 π cos ⁡ t   d t = s e n   t π 2 2 π = s e n   2 π - s e n π 2 = 0 - 1

=   - 1

O deslocamento então foi - 1   m (deslocamento pode ser negativo).

Vamos pra distância agora:

d i s t â n c i a = ∫ π 2 2 π | cos ⁡ t |   d t

Cuidado nesse ponto aqui por causa do módulo!

Passo 3

Vamos olhar pro nosso intervalo: [ π 2 ,   2 π ] .

Olha só:

O cosseno é negativo no intervalo de π 2   a 3 π 2 e positivo no resto do intervalo. Então a gente vai ter que dividir essa integral em duas, assim:

∫ π 2 3 π 2 - cos ⁡ t   d t + ∫ 3 π 2 2 π cos ⁡ t   d t

- s e n   t π 2 3 π 2 + s e n   t 3 π 2 2 π =  

=   - - 1 - - 1 + 0 - ( - 1 )

= 3

A distância percorrida nesse caso então foi de 3   m .

E acabamos😊

Resposta

  1. Deslocamento: 1 m e distância: 1 m
  2. Deslocamento: - 1   m e distância: 3 m
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