Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições dadas.

Em cada ponto (x, y) da curva, y satisfaz a condição d^2y / d^2x = 6x ; a reta y = 5 - 3x é tangente à curva no ponto onde x = 1 .

Passo 1

Bom galera, esse problema é muito mais fácil do que parece, vamos pegar nossa função:

f ' ' x = d 2 y d x 2 = 6 x

E integrar uma vez:

f ' x = ∫ 6 x   d x

= 3 x 2 + C 1

Passo 2

Beleza, a encontrou a primeira derivada com aquela integral, agora a gente precisa saber que a derivada da reta tangente é igual a derivada da função no ponto de tangencia, pois como a reta é tangente ela possui a mesma inclinação então naquele ponto, vamos derivar a reta tangente:

y = 5 - 3 x

d y d x = - 3

Logo a derivada da função que a gente quer no ponto x = 1 também deve ser - 3 :

f ' 1 = 3 1 2 + C 1 = - 3

→ C 1 = - 6

Passo 3

Show de bola, vamos integrar mais um vez a função agora com o valor de C 1 que a gente já tem:

f x = ∫ 3 x 2 + C 1   d x = ∫ 3 x 2 - 6   d x

→ f x = x 3 - 6 x + C 2

Passo 4

Agora, a gente precisa encontrar C 2 , mas é fácil, porque a gente tem a equação da reta tangente e sabemos em que ponto ela é tangente, com isso a gente pode encontrar um ponto da nossa função e testar, bora lá:

y = 5 - 3 x

A tangência acontece em x = 1 , logo:

y = 5 - 3 1 = 2

Assim a gente tem um ponto da nossa função, que é:

1 ,   2 → f 1 = 2

Igualando na função ficamos com:

f 1 = 2 = 1 3 - 6 1 + C 2

C 2 = 2 - 1 + 6 = 7

Passo 5

Por fim, nós apenas substituímos C 2 :

f x = x 3 - 6 x + 7

Resposta

f x = x 3 - 6 x + 7

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