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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 33

Calcule a integral

33. int sec^5 x tan^3 x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan^2 u = sec^2 u - 1

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int sec^5 x tan^3 x d x = int sec^4 x tan^2 x sec x tan x d x

E agora aplicamos a propriedade:

int sec^4 x tan^2 x sec x tan x d x = int sec^4 x (sec^2 x - 1) sec x tan x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = sec x e d u = sec x tan x d x

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

int sec^4 x (sec^2 x - 1) sec x tan x d x = int u^4 (u^2 - 1) d u

Fazemos a distributiva e separamos em duas integrais:

int u^4 (u^2 - 1) d u = int u^6 d u - int u^4 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

int u^6 d u = (u^7)/(7) + C

Retornando à variável original:

(u^7)/(7) + C = (sec^7 x)/(7) + C

Passo 4

int u^4 d u = (u^5)/(5) + C

Retornando à variável original:

(u^5)/(5) + C = (sec^5 x)/(5) + C

Somamos os resultados obtidos, vamos ter:

int sec^5 x tan^3 x d x = (sec^7 x)/(7) - (sec^5 x)/(5) + C

Resposta

int sec^5 x tan^3 x d x = (sec^7 x)/(7) - (sec^5 x)/(5) + C

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