Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 25
25- Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição x = cos 3t.
a) Verifique que aceleração é proporcional à posição.
b) Calcule a aceleração no instante em que a partícula se encontra na posição x = .
Passo 1
a)Lembremos que, para encontrarmos a aceleração precisaremos derivar a função até a segunda ordem.
Para tanto, comecemos encontrando a derivada de primeira ordem.
Agora, vamos derivar mais uma vez a função obtida a partir da primeira derivada. Ou seja,
A questão ainda não acabou !!! Nós apenas encontramos a aceleração. Precisamos verificar que ela é proporcional à posição. Vamos dividir uma equação pela outra e ver o que acontece.
Deu uma constante!!!! Isso quer dizer que, para qualquer valor de t, a aceleração da partícula sempre será -9 x a sua posição. Portanto, são proporcionais.
Passo 2
b)Vamos começar encontrando o instante em que a partícula se encontra na posição x = .
Substituindo esse valor na função dada no enunciado, teremos:
Agora, precisamos lembrar qual é o ângulo cujo cosseno é .
cos 60 = . Vivaaaaaa!!! Encontramos. Mas, de acordo com a função, sabemos que 3t = 60. Ou seja, t = 20.
Substituindo esse valor na função de aceleração encontrada no item anterior, teremos:
a = - 9 cos (3.20)
a = -9 .
a = -
Resposta
- = -9(cos 3t) = -9x
- -