Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 23
Calcule o limite, se existir.
23)
Passo 1
Fala aí, pessoal. Tudo belezinha?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente calcular o limite da função
Quando tende a . Ou seja
Para isso, a primeira coisa que temos que fazer é substituir o por na função e ver se é possível terminar o cálculo do limite. Se, por acaso, cairmos em alguma indeterminação matemática, teremos que modificar um pouco a função para conseguir calcular.
Vem comigo que te ajudo com isso no passo a passo.
Passo 2
Começamos calculando o limite
Substituindo, teremos:
Opa! Caímos mesmo em uma indeterminação do tipo . Vamos tentar modificar um pouco essa função para tentar recalcular.
Passo 3
Uma ferramenta que ajuda muito a gente são os produtos notáveis. Um deles é a diferença de quadrados, do tipo:
Que é resultado do produto da soma pela diferença de dois termos. Assim:
Então, vamos adaptar um pouquinho nossa função, fazendo a multiplicação do numerador e do denominador por algo que a torne esse produto notável aí.
E para isso, basta multiplicarmos numerador e denominador por . Isso nos dará um produto notável e não vai alterar a função, já que faremos a multiplicação em cima e embaixo.
Assim:
E resolvendo, teremos:
E simplificando, ficamos com:
E o limite se torna
Agora vamos tentar recalcular o limite e ver se dará certo.
Passo 4
Nosso limite se transformou em
Então basta substituir por na função e ver se o limite chegará a um resultado coerente.
Assim:
Prontinho! Limite calculado.