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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5n

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (x^n - p^n)/(x - p) (n > 0 n a t u r a l)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

underset(x -> p)(lim) (x^n - p^n)/(x - p) = (p^n - p^n)/(p - p) = (0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio da seguinte forma x^n - p^n , então vamos destrinchar isso fatorando:

x^n - p^n = ( x^(n - 1) + x^(n - 2) * p^1 + x^(n - 3) * p^2 + * * * + x^1 * p^(n - 2) + p^(n - 1) ) ( x - p )

Substituindo no limite:

underset(x -> p)(lim) (x^n - p^n)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (( x^(n - 1) + x^(n - 2) * p^1 + x^(n - 3) * p^2 + * * * + x^1 * p^(n - 2) + p^(n - 1) ) ( x - p ))/(x - p)

Agora podemos simplificar, cortando o (x - p)

underset(x -> p)(lim) x^(n - 1) + x^(n - 2) * p^1 + x^(n - 3) * p^2 + * * * + x^1 * p^(n - 2) + p^(n - 1)

Pronto! Vamos resolver o limite!

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido.

underset(x -> p)(lim) x^(n - 1) + x^(n - 2) * p^1 + x^(n - 3) * p^2 + * * * + x^1 * p^(n - 2) + p^(n - 1) = p^(n - 1) + p^(n - 2) * p^1 + p^(n - 3) * p^2 + * * * + p^1 * p^(n - 2) + p^(n - 1)

Ajeitando o polinômio,

= p^(n - 1) + p^(n - 1) + p^(n - 1) + * * * + p^(n - 1) + p^(n - 1)

Logo,

= n * p^(n - 1)

Resposta

underset(x -> p)(lim) (x^n - p^n)/(x - p) = n * p^(n - 1)

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