Calcule.

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 1

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao cubo, vamos lembrar que:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Vamos aplicar então:

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h = lim h → 0 ⁡ h 3 x 2 + 3 x h + h 2 h = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 = 3 x 2 + 3 x ∙ 0 + 0 2 = 3 x 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = 3 x 2

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