Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5d

Calcule.

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h)

Passo 1

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao cubo, vamos lembrar que:

(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3

Vamos aplicar então:

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3 - x^3)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3)/(h)

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

underset(h -> 0)(lim) (3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h (3 x^2 + 3 x h + h^2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) 3 x^2 + 3 x h + h^2

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) 3 x^2 + 3 x h + h^2 = 3 x^2 + 3 x * 0 + 0^2 = 3 x^2

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h) = 3 x^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) (x^3 + x^2)/(3 x^3 + x^4 + x)
Calcule. lim h → 0 ⁡ x 2 + 3 x h
Calcule.underset(x - p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/(x - p) (p != 0)
Calcule.underset(x - 3)(lim) (x^2 - 9)/(x^2 + 9)