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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5m

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (x^4 - p^4)/(x - p)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos polinômios do quarto grau, podemos usar a seguinte fórmula, pois temos essa expressão desse formato:

a^4 - b^4 = (a^2 + b^2) (a - b) (a + b)

Assim temos a = x e b = p :

x^4 - p^4 = (x^2 + p^2) (x - p) (x + p)

Resultando no limite:

underset(x -> p)(lim) (x^4 - p^4)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((x^2 + p^2) (x - p) (x + p))/(x - p)

Passo 3

Podemos simplificar eliminando a expressão x - p que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

underset(x -> p)(lim) ((x^2 + p^2) (x - p) (x + p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (x^2 + p^2) (x + p)

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido.

underset(x -> p)(lim) (x^2 + p^2) (x + p) = (p^2 + p^2) (p + p) = (2 p^2) (2 p) = 4 p^3

Resposta

underset(x -> p)(lim) (x^4 - p^4)/(x - p) = 4 p^3

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Seja f definida R . Suponha que lim x → 0 ⁡ f x x = 1 . Calcule lim x → 0 ⁡ f x 2 x
Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule lim h → 0 ⁡ f p - h - f p h
Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule lim h → 0 ⁡ f p + h - f p h