Calcule.

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a 3 - b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a 3 - b 3 = ( a 2 + a . b + b 2 ) ( a - b )

Assim temos a = x e b = p :

x 3 - p 3 = x 2 + x . p + p 2 x - p = x 2 + x p + p 2 x - p

Resultando no limite:

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p = lim x → p ⁡ x 2 + x p + p 2 x - p x - p

Passo 3

Podemos simplificar eliminando a expressão x - p que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

lim x → p ⁡ x 2 + x p + p 2 x - p x - p = lim x → p ⁡ x 2 + x p + p 2

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido.

lim x → p ⁡ x 2 + x p + p 2 =   p 2 + p ∙ p + p 2 = p 2 + p 2 + p 2 = 3 p 2

Resposta

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p = 3 p 2

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