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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5g

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (root(4)(x) - root(4)(p))/(x - p) (p != 0)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a indeterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamos lá!!

Passo 2

No denominador, podemos fazer a seguinte manipulação, pegando cada elemento do denominador e tirando a raiz quarta e elevando a quarta:

x - p = (root(4)(x))^4 - (root(4)(p))^4

Fizemos isso porque agora podemos usar a seguinte fórmula, pois temos essa expressão desse formato:

a^4 - b^4 = (a^2 + b^2) (a - b) (a + b)

Assim temos a = root(4)(x) e b = root(4)(p) :

x - p = (root(4)(x))^4 - (root(4)(p))^4 = ((root(4)(x))^2 + (root(4)(p))^2) (root(4)(x) - root(4)(p)) (root(4)(x) + root(4)(p)) = (root(4)(x^2) + root(4)(p^2)) (root(4)(x) - root(4)(p)) (root(4)(x) + root(4)(p))

Vamos substituir no limite:

underset(x -> p)(lim) (root(4)(x) - root(4)(p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (root(4)(x) - root(4)(p))/((root(4)(x^2) + root(4)(p^2)) (root(4)(x) - root(4)(p)) (root(4)(x) + root(4)(p))) = underset(x -> p)(lim) (1)/((root(4)(x^2) + root(4)(p^2)) (root(4)(x) + root(4)(p)))

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido:

underset(x -> p)(lim) (1)/((root(4)(x^2) + root(4)(p^2)) (root(4)(x) + root(4)(p))) = (1)/((root(4)(p^2) + root(4)(p^2)) (root(4)(p) + root(4)(p))) = (1)/((2 root(4)(p^2)) (2 root(4)(p))) = (1)/(4 root(4)(p^3))

Resposta

underset(x -> p)(lim) (root(4)(x) - root(4)(p))/(x - p) = (1)/(4 root(4)(p^3))

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