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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 1e

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

underset(x -> 1)(lim) (|x - 1|)/(x - 1)

Passo 1

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se underset(x -> p ⁺)(lim) f (x) = underset(x -> p ⁻)(lim) f (x) = L então underset(x -> p)(lim) f (x) = L

Poxa, a expressão tem módulo, mas vamos com calma ver isso, vamos fazer então que:

(|x - 1|)/(x - 1) = {[[1 s e x > 0],[- 1 s e x < 0]])

Passo 2

Assim agora dá pra resolver o limite, com x tendendo a 1 pela direita vamos ter então a condição de x > 0 :

underset(x -> 1 ⁺)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) = underset(x -> 1 ⁺)(lim) 1 = 1

Passo 3

Agora com x tendendo a 1 pela esquerda vamos ter então a condição de x < 0 :

underset(x -> 1 ⁻)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) = underset(x -> 1 ⁻)(lim) - 1 = - 1

Temos então que:

underset(x -> 1)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) não existe, pois underset(x -> 1 ⁺)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) != underset(x -> 1 ⁻)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) .

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (|x - 1|)/(x - 1) não existe

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