Calcule

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = x 2 + 3 - 2 x 2 - 1 quando x se aproxima de 1 .

Repare que substituindo x = 1 na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Para calcular esse limite vamos fazer uma substituição para mudar um pouco a cara da nossa função e resolvê-la! Assim, vamos chamar o que está dentro da raiz de u :

u = x 2 + 3

→ x 2 = u - 3

Vamos então definir esse novo limite:

x 2 + 3 - 2 x 2 - 1 = u - 2 u - 3 - 1 = u - 2 u - 4

Se a gente mudou a variável na função, também vamos mexer no limite. Se x → 1 , vamos ver para onde u vai tender:

1 2 = u - 3

→ u = 1 + 3 → u = 4

Assim para x → 1 temos u → 4 e o nosso limite fica assim:

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x 2 - 1 = lim u → 4 ⁡ u - 2 u - 4

Passo 3

Ficamos com esse limite para resolver que também vai cair em uma indeterminação:

lim u → 4 ⁡ u - 2 u - 4

Então, vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do numerador, que seria a expressão u + 2 :

lim u → 4 ⁡ u - 2 u - 4 = lim u → 4 ⁡ u - 2 u - 4 ∙ u + 2 u + 2

Vamos agora simplificar a expressão:

= lim u → 4 ⁡ u 2 + 2 u - 2 u - 4 u - 4 u + 2

= lim u → 4 ⁡ u - 4 u - 4 u + 2

= lim u → 4 ⁡ 1 u + 2

Pronto, agora fica simples de calcular o limite, só é necessário substituir o valor 4 na expressão e pronto:

lim u → 4 ⁡ 1 u + 2 =   1 4 + 2

= 1 2 + 2

= 1 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x 2 - 1 = 1 4

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