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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 41b

Coloque na forma (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 .

x^2 + y^2 - x - y = 0

Passo 1

Primeiro vamos agrupar os termos que contém x , y e as variáveis constantes:

x^2 + y^2 - x - y = 0 harr (x^2 - x) + (y^2 - y) = 0

Agora vamos usar a seguinte fórmula para comparar e achar o valor de a e b :

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

De cara sabemos que a = x , e temos que o termo:

- 2 a b = - x harr - 2 a b = - a harr - 2 b = - 1 harr b = (1)/(2)

Assim, temos que b = (1)/(2) .

Para y vamos usar a mesma forma, a = y , e temos que o termo:

- 2 a b = - y harr - 2 a b = - a harr - 2 b = - 1 harr b = (1)/(2)

Assim, temos que b = (1)/(2) .

Vamos substituir:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 -> (x - (1)/(2))^2 = x^2 - x + (1)/(4) -> x^2 - x = (x - (1)/(2))^2 - (1)/(4)

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 -> (y - (1)/(2))^2 = y^2 - y + (1)/(4) -> y^2 - y = (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4)

Passo 2

Agora voltando na expressão:

(x^2 - x) + (y^2 - y) = 0 harr (x - (1)/(2))^2 - (1)/(4) + (y - (1)/(2))^2 - (1)/(4) = 0 harr (x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 - (1)/(2) = 0 harr (x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(2)

Por fim precisamos achar o valor de r , temos que:

r^2 = (1)/(2) harr r = sqrt((1)/(2)) = (1)/(sqrt(2))

Então pronto, achamos na forma que queríamos:

(x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(2) harr (x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = ((1)/(sqrt(2)))^2

Resposta

(x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = ((1)/(sqrt(2)))^2

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