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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3d

Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule

lim h → 0 ⁡ f p - h - f p h

Passo 1

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p )

e que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Passo 2

Aqui vamos fazer uma mudança de variável:

u = - h

Temos então que u → 0 para h → 0 :

lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h = lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p - u = - lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u

Vamos agora fazer outra mudança de variável:

x = p + u

Temos então que x → p para u → 0 :

- lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u = - lim x → p ⁡ f x -   f p x - p = - L

Resposta

lim h → 0 ⁡ f p - h - f p h = - L

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Calcule. lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 3 x 3 + x 4 + x
Calcule. lim h → 0 ⁡ x 2 + 3 x h
Calcule. lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p p ≠ 0
Calcule. lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x 2 + 9