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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 2d

Seja f definida R . Suponha que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calcule

underset(x -> 0)(lim) (f (7 x))/(3 x)

Passo 1

Se supormos que existam funções g (u) e u = f (x) , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F (x) = g (u) onde u = f (x) , x in D_f , underset(x -> p)(lim) f (x) = a ( u -> a para x -> p )

e que underset(u -> a)(lim) g (u) exista. Então:

underset(x -> p)(lim) F (x) = underset(u -> a)(lim) g (u)

Passo 2

Vamos fazer manipulações então, vamos multiplicar e dividir a expressão por 7 :

underset(x -> 0)(lim) (f (7 x))/(3 x) = underset(x -> 0)(lim) (7 * f (7 x))/(7 * 3 x) = (7)/(3) (underset(x -> 0)(lim) (f (7 x))/(7 x))

Agora vamos fazer uma mudança de variável:

u = 7 x

Temos então que u -> 0 para x -> 0 :

(7)/(3) (underset(x -> 0)(lim) (f (7 x))/(7 x)) = (7)/(3) (underset(u -> 0)(lim) (f (u))/(u)) = (7)/(3) * 1 = (7)/(3)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (7 x))/(3 x) = (7)/(3)

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