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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 2b

Seja f definida R . Suponha que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calcule

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de (f (x^2))/(x) quando x se aproxima de 0 , sabendo que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 .

Não daria pra gente simplesmente substituir x = 0 na função, porque a gente teria uma divisão por zero, que não existe. Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando e dividindo a nossa expressão por x :

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (x * f (x^2))/(x * x)

= underset(x -> 0)(lim) (x * f (x^2))/(x^2)

Separando o limite do produto no produto dos limites, temos:

= underset(x -> 0)(lim) x * underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2)

Vamos calcular os dois limites separadamente. Mas repara que no segundo limite o termo dentro de f é igual ao denominador.

Passo 3

Para o primeiro limite podemos aplicar direto:

underset(x -> 0)(lim) x = 0

Já para underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2) , vamos fazer uma mudança de variável e chamar:

u = x^2

Temos então que u -> 0 para x -> 0 :

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2) = underset(u -> 0)(lim) (f (u))/(u) = 1

Passo 4

Agora é só voltar a expressão, multiplicando os resultados que obtivemos nos dois limites:

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = underset(x -> 0)(lim) x * underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2)

= 0 * 1

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = 0

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Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). l i m x → 2 = x 2 - 2 x x 2 - x - 2 x = 2,5 ; x = 2
Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. lim x → 1 ⁡ x 6 - 1 x 10 - 1
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4
Calcule o limite, se existir.16) underset(x - - 1)(lim) (x ² - 4 x)/(x ² - 3 x - 4) ² ²
Calcule o limite, se existir.underset(x - - 4)(lim) ((1)/(4) + (1)/(x))/(4 + x)