Seja f definida R . Suponha que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calcule

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de (f (x^2))/(x) quando x se aproxima de 0 , sabendo que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 .

Não daria pra gente simplesmente substituir x = 0 na função, porque a gente teria uma divisão por zero, que não existe. Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando e dividindo a nossa expressão por x :

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (x * f (x^2))/(x * x)

= underset(x -> 0)(lim) (x * f (x^2))/(x^2)

Separando o limite do produto no produto dos limites, temos:

= underset(x -> 0)(lim) x * underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2)

Vamos calcular os dois limites separadamente. Mas repara que no segundo limite o termo dentro de f é igual ao denominador.

Passo 3

Para o primeiro limite podemos aplicar direto:

underset(x -> 0)(lim) x = 0

Já para underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2) , vamos fazer uma mudança de variável e chamar:

u = x^2

Temos então que u -> 0 para x -> 0 :

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2) = underset(u -> 0)(lim) (f (u))/(u) = 1

Passo 4

Agora é só voltar a expressão, multiplicando os resultados que obtivemos nos dois limites:

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = underset(x -> 0)(lim) x * underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x^2)

= 0 * 1

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (x^2))/(x) = 0

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