Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 1c

Calcule

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x + 7) - 2)/(x - 1)

Passo 1

Para calcular esse limite vamos fazer uma substituição para mudar um pouco a cara da nossa função e resolvê-la!

Vamos chamar o que está dentro da raiz de u , ou seja, vamos fazer que:

u = x + 7 -> x = u - 7

Vamos então definir esse novo limite:

(root(3)(x + 7) - 2)/(x - 1) = (root(3)(u) - 2)/(u - 7 - 1) = (root(3)(u) - 2)/(u - 8)

Se a gente mudou a variável na função, também vamos mexer no limite. Se x -> 1 , vamos ver para onde u vai tender,

1 = u - 7 -> u = 1 + 7 -> u = 8

Assim para x -> 1 temos u -> 8 :

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x + 7) - 2)/(x - 1) = underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u - 8)

Agora é resolver o limite!

Passo 2

Ficamos com esse limite para resolver que vai cair em uma indeterminação!

underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u - 8)

Nosso intuito será transformar root(3)(u) - 2 em u - 8 . Para isso, precisamos saber quem devemos multiplicar root(3)(u) - 2 para virar u - 8 .

A gente consegue isso fazendo a divisão de u - 8 por root(3)(u) - 2 . Beleza??

Calculando essa divisão de polinômios, chegamos ao quociente u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4 . Então, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão de (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4) :

underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u - 8) = underset(u -> 8)(lim) ((root(3)(u) - 2)/(u - 8)) * ((u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4)/(u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

Agora simplificando a expressão:

underset(u -> 8)(lim) ((root(3)(u) - 2)/(u - 8)) * ((u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4)/(u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4)) = underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u^3) + 2 root(3)(u^2) + 4 root(3)(u) - 2 root(3)(u^2) - 4 root(3)(u) - 8)/((u - 8) (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

Simplificando,

underset(u -> 8)(lim) (u - 8)/((u - 8) (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

underset(u -> 8)(lim) (1)/(u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4)

Passo 3

Agora é só necessário substituir o valor 8 na expressão e pronto:

underset(u -> 8)(lim) (1)/(u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4) = (1)/(8^((2)/(3)) + 2 root(3)(8) + 4) = (1)/(4 + 2 (2) + 4) = (1)/(12)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x + 7) - 2)/(x - 1) = (1)/(12)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(h - 0)(lim) (( 3 + h )^(- 1) - 3^(- 1))/(h)
Calcule o limite, se existir.underset(h - 0)(lim) (( 4 + h )^2 - 16)/(h)
Calcule o limite, se existir. lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2
Calcule o limite, se existir. lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3
Calcule o limite, se existir. l i m h → 02 + h 3 - 8 h