Calcule

lim x → 1 ⁡ x + 7 3 - 2 x - 1

Passo 1

Para calcular esse limite vamos fazer uma substituição para mudar um pouco a cara da nossa função e resolvê-la!

Vamos chamar o que está dentro da raiz de u , ou seja, vamos fazer que:

u = x + 7 → x = u - 7

Vamos então definir esse novo limite:

x + 7 3 - 2 x - 1 = u 3 - 2 u - 7 - 1 = u 3 - 2 u - 8

Se a gente mudou a variável na função, também vamos mexer no limite. Se x → 1 , vamos ver para onde u vai tender,

1 = u - 7 → u = 1 + 7 → u = 8

Assim para x → 1 temos u → 8 :

lim x → 1 ⁡ x + 7 3 - 2 x - 1 = lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u - 8

Agora é resolver o limite!

Passo 2

Ficamos com esse limite para resolver que vai cair em uma indeterminação!

lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u - 8

Nosso intuito será transformar u 3 - 2 em u - 8 . Para isso, precisamos saber quem devemos multiplicar u 3 - 2 para virar u - 8 .

A gente consegue isso fazendo a divisão de u - 8 por u 3 - 2 . Beleza??

Calculando essa divisão de polinômios, chegamos ao quociente u 2 3 + 2 u 3 + 4 . Então, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão de u 2 3 + 2 u 3 + 4 :

lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u - 8 = lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u - 8 ∙ u 2 3 + 2 u 3 + 4 u 2 3 + 2 u 3 + 4

Agora simplificando a expressão:

lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u - 8 ∙ u 2 3 + 2 u 3 + 4 u 2 3 + 2 u 3 + 4 = lim u → 8 ⁡ u 3 3 + 2 u 2 3 + 4 u 3 - 2 u 2 3 - 4 u 3 - 8 u - 8 u 2 3 + 2 u 3 + 4

Simplificando,

lim u → 8 ⁡ u - 8 u - 8 u 2 3 + 2 u 3 + 4

lim u → 8 ⁡ 1 u 2 3 + 2 u 3 + 4

Passo 3

Agora é só necessário substituir o valor 8 na expressão e pronto:

lim u → 8 ⁡ 1 u 2 3 + 2 u 3 + 4 = 1 8 2 3 + 2 8 3 + 4 = 1 4 + 2 2 + 4 = 1 12

Resposta

lim x → 1 ⁡ x + 7 3 - 2 x - 1 = 1 12

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