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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1c

Calcule.

underset(x -> - oo)(lim) [5 + (1)/(x) + (3)/(x^2)]

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> - oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Temos que podemos de cara usar a propriedade da soma nesse limite:

underset(x -> p)(lim) [f (x) + g (x)] = underset(x -> p)(lim) f (x) + underset(x -> p)(lim) g (x)

Aplicando:

underset(x -> - oo)(lim) [5 + (1)/(x) + (3)/(x^2)] = underset(x -> - oo)(lim) 5 + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2)

Vamos resolver os três separadamente.

Passo 2

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> - oo)(lim) 5 = 5

No segundo temos (1)/(x) que tende a zero para x -> - oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) = 0

E no terceiro podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> - oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2) = 3 * underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2) = 3 * 0 = 0

Passo 3

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> - oo)(lim) [5 + (1)/(x) + (3)/(x^2)] = underset(x -> - oo)(lim) 5 + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2) = 5 + 0 + 0 = 5

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) [5 + (1)/(x) + (3)/(x^2)] = 5

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