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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1e

Calcule

e ) underset(x -> + oo)(lim) ((5 x^3 - 6 x + 1)/(6 x^3 + 2))

Passo 1

Para resolver limites no infinito de quociente de funções devemos ver qual comportamento prevalece: se do numerador ou do denominador. Para isso devemos seguir os seguintes passos:

  • Identificar o termo de maior ordem;
  • Dividir todos os termos por um termo de mesma ordem e coeficiente 1 ;
  • Daí sim partir para a análise do limite, lembrando que, para n >= 1 :

underset(x -> oo)(lim) (C)/(x^n) -> 0

underset(x -> oo)(lim) (x^n)/(C) -> oo

Passo 2

Agora vamos analisar nosso limite. O termo de maior ordem é 6 x^3 , então vamos dividir todos os termos por x^3 :

underset(x -> + oo)(lim) ((5 x^3 - 6 x + 1)/(6 x^3 + 2)) = underset(x -> + oo)(lim) (((5 x^3)/(x^3) - (6 x)/(x^3) + (1)/(x^3))/((6 x^3)/(x^3) + (2)/(x^3))) = underset(x -> + oo)(lim) ((5 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))/(6 + (2)/(x^3)))

Passo 3

Agora vamos analisar o que restou: os termos divididos por x^2 ou x^3 , quando x -> oo vão a zero. Sendo assim sobrou apenas o 5 em cima e o 6 embaixo:

underset(x -> + oo)(lim) ((5 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))/(6 + (2)/(x^3))) = (( 5 - 0 + 0 ))/(( 6 + 0 ))

E assim, esse limite tende a (5)/(6) . Ok?

Resposta

(5)/(6)

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