Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1g
Calcule.
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função quando se aproxima de .
Pra isso, vamos tentar reescrever a nossa função usando identidades trigonométricas, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.
Vamos lá!
Passo 2
Temos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, assim, podemos reescrever o limite como:
Para que consigamos calcular o limite usando o limite fundamental, devemos multiplicar por em ambos os termos da divisão:
Passo 3
Como o limite do produto é o produto dos limites, temos:
Assim, devemos calcular cada um dos limites.
Passo 4
Para :
Podemos chamar , de modo que se então e, também, quando tende a zero, também tende a zero. Assim:
Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:
Pelo limite fundamental, sabemos que então temos:
E encontramos .
Passo 5
Agora para :
Usamos a mesma ideia de substituição de variável. Fazendo , de modo que se tende a zero, então também tende a zero. Temos:
Colocando a constante do lado de fora:
E aplicando o limite:
Logo, encontramos .
Passo 6
Por fim, para , podemos apenas aplicar o limite diretamente:
E encontramos .
Passo 7
Voltando ao nosso limite original e substituindo os resultados que encontramos no produto, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉