Calcule.

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x quando x se aproxima de 0 .

Pra isso, vamos tentar reescrever a nossa função usando identidades trigonométricas, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, assim, podemos reescrever o limite como:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x =   lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x

Para que consigamos calcular o limite usando o limite fundamental, devemos multiplicar por x em ambos os termos da divisão:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x ∙ x x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x ∙ x sen ⁡ 4 x ∙ 1 cos ⁡ 3 x

Passo 3

Como o limite do produto é o produto dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x ∙ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 4 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x

Assim, devemos calcular cada um dos limites.

Passo 4

Para lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x :

Podemos chamar h = 3 x , de modo que se x ≠ 0 então h ≠ 0 e, também, quando x tende a zero, h também tende a zero. Assim:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h 3

= lim h → 0 ⁡ 3 sen ⁡ h h

Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:

= 3 lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

Pelo limite fundamental, sabemos que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 então temos:

= 3 ∙ 1 = 3

E encontramos lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = 3 .

Passo 5

Agora para lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 4 x :

Usamos a mesma ideia de substituição de variável. Fazendo w = 4 x ⇒ x = w 4 , de modo que se x tende a zero, então w também tende a zero. Temos:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 4 x = lim w → 0 ⁡ w 4 sen ⁡ w

Colocando a constante do lado de fora:

= 1 4 lim w → 0 ⁡ w sen ⁡ w = 1 4 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w - 1

= 1 4 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w - 1

E aplicando o limite:

= 1 4 ∙ 1

Logo, encontramos lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 4 x = 1 4 .

Passo 6

Por fim, para lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x , podemos apenas aplicar o limite diretamente:

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x = 1 cos ⁡ 3 ∙ 0

= 1 cos ⁡ 0

= 1 1 = 1

E encontramos lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x = 1 .

Passo 7

Voltando ao nosso limite original e substituindo os resultados que encontramos no produto, temos:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x ∙ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 4 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x

= 3 ∙ 1 4 ∙ 1

= 3 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x = 3 4

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