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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3c

Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule

lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h h

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f p + h - f p - h h quando h se aproxima de 0 , sabendo que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L .

Não daria pra gente simplesmente substituir h = 0 na função, porque a gente teria uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fazendo uma manipulação, somando e subtraindo f p ao numerador:

lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h +   f p -   f p h

Agora vamos separar em duas expressões:

= lim h → 0 ⁡ f p + h -   f p - f p - h -   f p h

Pronto, agora vamos separar em dois limites:

= lim h → 0 ⁡ f p + h -   f p h - lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h

E vamos resolver os dois limites separadamente.

Passo 3

Para lim h → 0 ⁡ f p + h -   f p h vamos fazer uma mudança de variável, chamando:

x = h + p

Temos então que x → p para h → 0 :

lim h → 0 ⁡ f p + h - f p h = lim x → p ⁡ f x - f p h = L

Passo 4

Agora para lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h , vamos fazer uma mudança de variável na forma:

u = - h

Temos então que u → 0 para h → 0 :

lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h = lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p - u

= - lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u

Vamos agora fazer outra mudança de variável, chamando:

x = p + u

Temos então que x → p para u → 0 :

- lim u → 0 ⁡ f p + u -   f p u

= - lim x → p ⁡ f x -   f p x - p = - L

Passo 5

Agora é só juntar os resultados e pronto:

lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h h

= lim h → 0 ⁡ f p + h -   f p h - lim h → 0 ⁡ f p - h -   f p h

= L - - L

= L + L = 2 L

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h h = 2 L

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