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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 4f

Calcule underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) sendo f dada por

f (x) = 3 x + 1

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de (f (x + h) - f (x))/(h) , para h tendendo a zero, sabendo que f (x) = 3 x + 1 .

Pra isso, vamos calcular f (x + h) , apenas substituindo x = x + h na função. E substituir esse resultado junto com o f ( x ) no limite. Depois vamos fazer algumas simplificações para chegar ao nosso resultado, aplicando o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calcular f (x + h) em f (x) = 3 x + 1 :

f (x + h) = 3 ( x + h ) + 1

f (x + h) = 3 x + 3 h + 1

Substituindo isso junto com a nossa f ( x ) no limite, temos:

underset(h -> 0)(lim) ((3 x + 3 h + 1) - (3 x + 1))/(h)

Repara que os termos 3 x vão se anular, e o 1 também. Aí fica assim:

= underset(h -> 0)(lim) (3 h)/(h)

Simplicando o h :

= underset(h -> 0)(lim) 3

Pronto, agora seria só substituir o valor 0 na expressão, mas como não há nenhum h pra ser aplicado, a resposta é o valor da expressão do limite:

underset(h -> 0)(lim) 3 = 3

Isso acontece porque o limite de uma constante é a própria constante, beleza?

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (3 (x + h) + 1 - (3 x + 1))/(h) = 3

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