Determine o maior intervalo (ou união de intervalos) onde a função é contínua.

f x = x + 5   s e   x < - 3 9 - x 2   s e - 3 ≤ x ≤ 3 3 - x   s e   x > 3

Passo 1

Repare que todas as funções das sentenças, quando vistas sozinhas, são funções contínuas. Então, quando juntarmos todas, queremos descobrir se no encontro entre um gráfico e outro a função é contínua. Assim, precisamos verificar nos saltos de uma sentença para outra.

Passo 2

Para verificar a continuidade em x = - 3 , vamos calcular os limites laterais:

lim x → - 3 - ⁡ f x = lim x → - 3 - ⁡ x + 5 = 2

lim x → - 3 + ⁡ f x = lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 = 0

Como os limites laterais são diferentes, a função é contínua em -3.

Passo 3

Para verificar a continuidade em x = 3 , vamos calcular novamente os limites laterais

lim x → 3 - ⁡ f x =   lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2 = 0

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x →   3 + ⁡ 3 - x = 0

Opa! São iguais! Para sacramentar a continuidade, precisamos calcular também a f ( 3 )

f 3 = 9 - 3 2 = 0

Então de fato a função é contínua em x = 3 .

Passo 4

Logo, o maior intervalo no qual a função dada é contínua é I = - ∞ , - 3 ∪ [ 3 , + ∞ )

Resposta

I = - ∞ , - 3 ∪ [ 3 , + ∞ )

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