Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 14
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
14.
Passo 1
Nosso objetivo aqui também é encontrarmos uma fórmula para o termo geral de acordo com o padrão que nos foi dado no enunciado, certo?
Para isso, devemos analisar esses termos para encontrar um padrão quanto: sinais, numeradores e denominadores.
Olhando então para a nossa sequência
Vamos analisar primeiro os sinais.
Passo 2
Você consegue reparar que o sinal dos termos são intercalados, ou seja, uma hora é positivo e outra hora é negativo?
Quando os sinais dos termos se alternam, como na sequência que estamos analisando, é comum incluirmos um fator multiplicativo na expressão do termo geral para capturar essa alternância. A carinha dele é essa aqui ó
Se você reparar Quando é par, será positivo, e quando é ímpar, será negativo. Isso garante que os sinais dos termos se alternem conforme o padrão observado na sequência.
Passo 3
Agora vamos analisar o numerador e o denominador da sequência.
O numerador dos termos não se altera, então sabemos que a expressão de terá numerador .
O denominador é composto pelo seguinte fator
Para observarmos que é verdade, basta substituirmos valores para e ver se bate, se liga:
Passo 4
Sendo assim, agora que temos todas as informações necessárias para escrever a nossa expressão de acordo com os pontos:
- Como os sinais se alternam, então precisamos incluir o fator multiplicativo .
- O numerador dos termos não se altera, então sabemos que a expressão de terá numerador .
- O denominador é composto pelo fator .
Assim, temos que a nossa expressão de ficará:
Ou seja,