Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

18.

a_n = raiz(n) / (1 + raiz(n))

Passo 1

Tudo beleza, galera? Mais um leão pra gente enfrentar.

Esta bendita questão tá pedindo pra gente analisar a sequência e classificá-la como convergente ou divergente, então precisamos calcular o limite de a n tendendo ao infinito.

Primeiro, lembra:

Pra ser convergente, a n   é finito e existe.

Já para ser divergente, a n   tende a infinito ou não existe.

Passo 2

A gente vai começar substituindo em n no limite.

a n  

n 1 + n    

∞ 1 + ∞     =   ∞ 1 + ∞

No denominador, a gente sabe que 1 somado a infinito continuará dando um valor infinito, portanto:

∞ ∞

Galera, vocês sabem que o limite até este ponto se tornou indeterminado, né? Isso não pode ficar assim!!

Então a gente precisa procurar outra maneira de resolver esta sequência.

Passo 3

Por isso, vamos dividir o numerador e o denominador por n pra simplificar esta sequência:

a n = n n 1 + n n

a n =   1 1 n + 1

Agora vamos aplicar o limite nessa sequência já simplificada e, assim, verificamos a classificação dela:

a n  

1 1 n + 1    

A gente substitui em n

1 1 ∞ + 1    

Como 1 ∞ tende a zero, logo:

  1 0 + 1 = 1

Então, galera, se o limite tende a um número finito, que nesse caso foi o 1 , então esta sequência é convergente!

Resposta

Converge para o número 1.

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