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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 34

Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites.

lim x → π 2 ⁡ [ 2   s e n   x - cos ⁡ x + c o t g   x ]

Passo 1

Aplicando a propriedade da soma e da subtração no limite que é dada por:

lim x → a ⁡ [ f x ± g x ] = lim x → a ⁡ f x ± lim x → a ⁡ g ( x )

Temos:

lim x → π 2 ⁡ [ 2   s e n   x - cos ⁡ x + c o t g   x ] = lim x → π 2 ⁡ 2   s e n   x - lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x + lim x → π 2 ⁡ c o t g   x

Passo 2

Para funções trigonométricas, podemos aplicar a seguinte propriedade exemplificada pela função cosseno:

lim x → a ⁡ cos ⁡ f x = c o s ⁡ [ lim x → a ⁡ f ( x ) ]  

Logo, temos que:

lim x → π 2 ⁡ 2   s e n   x - lim x → π 2 ⁡ cos ⁡ x + lim x → π 2 ⁡ c o t g   x = 2   s e n   lim x → π 2 ⁡ x - cos ⁡ lim x → π 2 ⁡ x + c o t g lim x → π 2 ⁡ x

Lembre-se que podemos tirar uma constante c do limite pela propriedade:

lim x → a ⁡ c   f x = c   . lim x → a ⁡ f ( x )  

Passo 3

Aplicando o limite, temos então que:

2   s e n   lim x → π 2 ⁡ x - cos ⁡ lim x → π 2 ⁡ x + c o t g lim x → π 2 ⁡ x = 2 s e n π 2 - cos ⁡ π 2 + c o t g π 2 =

2.1 - 0 + 0 = 2

Resposta

2

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