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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 18

Calcule o limite, se existir.

lim h → 0 ⁡ 2 + h 3 - 8 h

Passo 1

Faaala aí minha pessoa bonita!

Iremos analisar o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ 2 + h 3 - 8 h

Primeiro passo sempre é substituir o valor do limite na função e ver o que acontece.

lim h → 0 ⁡ 2 + h 3 - 8 h = 2 3 - 8 0 = 8 - 8 0 = 0 0

Opa, chegamos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Para resolvê-la, devemos fatorar o polinômio do numerador e do denominador até conseguirmos retirar a indeterminação.

Ali temos um termo que está elevado ao cubo, vamos tentar abrir esse produto, quem sabe não dá algo bom ^^

Passo 2

Começaremos expandindo o produto notável presente no numerador, com isso, podemos reescrever o limite como:

lim h → 0 ⁡ 2 + h 3 - 8 h = lim h → 0 ⁡ 8 + 12 h + 6 h 2 + h 3 - 8 h

(Se você não lembra como resolver esse produto notável, uma opção era abrir o produto e realizar a multiplicação distributiva, você deveria chegar no mesmo resultado.)

lim h → 0 ⁡ ( 2 + h ) ( 2 + h ) ( 2 + h ) - 8 h = lim h → 0 ⁡ 4 + 4 h + h 2 2 + h - 8 h  

= lim h → 0 ⁡ 8 + 12 h + 6 h 2 + h 3 - 8 h

Agora para nossa alegria aparece um 8 positivo ali !

Subtraindo a constante que aparece duas vezes e com sinal trocado no numerador, ficamos com:

lim h → 0 ⁡ 12 h + 6 h 2 + h 3 h

Passo 3

Com isso, podemos fatorar o termo do numerador, colocando h em evidência, com isso, temos:

lim h → 0 ⁡ h ( 12 + 6 h + h 2 ) h

Simplificando o termo h que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim h → 0 ⁡ 12 + 6 h + h 2

Agora iremos substituir os valores para h , obtendo:

12 + 6 0 + 0 2 = 12

Resposta

lim h → 0 ⁡ 2 + h 3 - 8 h = 12

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