Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 48
Suponha que sejam duas funções tais que
e exista. Use o Teorema 1.2.2 para provar que .
Passo 1
Olá, tudo bem?
Bom, aqui a gente vai usar o teorema que nos diz que:
“O limite do quociente é quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero”
Colocando matematicamente, é isso aqui:
Passo 2
Nesse caso o nosso denominador é zero...
Então a gente vai ter que pensar em outro caminho...
Vamos começar com um exemplo desse caso:
O limite do denominador é zero. Vamos ver se o limite desse quociente existe. A gente faz assim:
Existe! Ou seja, o limite do denominador é zero e o limite do quociente existe!
Isso ocorre porque o limite do numerador também é zero, e nesses casos, a gente pode sempre dividir o numerador pelo denominador, meio que “sumindo” com a função ali debaixo.
Olha só: se o limite do quociente existe e o limite do denominador é zero (que são as condições dessa questão) isso quer dizer que divide e se divide elas possuem uma mesma raiz, que irá zerar as duas.
Passo 3
Quer ver um exemplo onde isso não acontece?
Vamos pensar nas funções:
Aí pense no limite:
O limite do denominador é zero, mas o do numerador não é. E aí olha o que acontece:
Ou seja, o limite não existe!
Então, se o limite do quociente existe, e o limite do denominador é zero, o limite do numerador também precisa ser zero!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)