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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 23

Calcule o limite, se ele existir. underset(t -> 0)(lim) (s e n ² t)/(s e n t ²) .

Passo 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso elas cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

underset(t -> 0)(lim) (s e n ² t)/(s e n t ²) = underset(t -> 0)(lim) (2 s e n t cos t)/(2 t cos t ²) = underset(t -> 0)(lim) (s e n t cos t)/(t cos t ²)

Observe que, mesmo assim ainda continua dando indeterminação, tanto no numerador quanto no denominador é zero pode-se aplicar L’Hopital denovo.

= underset(t -> 0)(lim) (c o s^2 t - s e n ² t)/(cos t^2 - 2 t^2 s e n t ²)

Aplicando o limite temos:

= (1 - 0)/(1 - 0) = 1

Resposta

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Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x
Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital. y =
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 1 x = 0
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡
Calcule, caso existe, underset(x - 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada porf (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])