Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 68
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! 😁
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Nosso limites é:
E tentando calcular esse limite, teremos:
Opa!
Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.
Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou /.
Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.
Passo 3
Antes de pensar no limite, vamos usar que a propriedade logaritma :
E o expoente do ln pode cair pra frente dele multiplicando usando essa propriedade aqui:
Assim:
E nosso limite pode ser escrito com:
E passando o limite para o expoente da exponencial, ficamos com:
Desta forma, o limite que nos interessa é:
Passo 4
Vamos fazer a mudança de variável
Assim,
e quando , . Desta forma,
Quando , , assim o limite é uma indeterminação do tipo . Podemos reescrevê-lo como
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0: podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 5
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
Vamos calcular as derivadas do numerador e denominador separadamente para evitar confusão.
Para o numerador:
Usando a regra da cadeia e a regra do quociente, teremos:
E para o denominador, teremos:
Assim, pela regra de L’Hospital nosso limite se transforma em:
Ajeitando um pouco melhor, ficamos com:
Ou melhor:
Mas fazendo a tendência de ao infinito, ficamos com:
Opa, indeterminação novamente.
Passo 6
Podemos aplicar L’Hospital novamente, porém isso não é necessário.
Colocando em evidência:
Assim,
Assim chegamos em nossa resposta.