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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 29

Calcule o limite, se existir.

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 0 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação oo - oo :

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t) = (1)/(0 sqrt(1 + 0)) - (1)/(0) = oo - oo

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

Primeiro vamos achar um denominador comum da expressão, buscando simplifica-lá:

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t) = underset(t -> 0)(lim) (1 - sqrt(1 + t))/(t sqrt(1 + t))

Analisando um pouco, vamos tentar uma tática, multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do numerador.

Lembre-se, nas resoluções de limites as vezes haverá muitas tentativas e erros, mas não desanime, quanto mais buscar resolver uma questão, mais você aprende!!

Passo 3

Vamos lá então:

underset(t -> 0)(lim) (1 - sqrt(1 + t))/(t sqrt(1 + t)) = underset(t -> 0)(lim) (( 1 - sqrt(1 + t) ) ( 1 + sqrt(1 + t) ))/(( t sqrt(1 + t) ) ( 1 + sqrt(1 + t) ))

Agora é só simplificar a expressão fazendo as multiplicações no numerador, assim chegamos ao limite:

underset(t -> 0)(lim) ((1 - sqrt(1 + t)) (1 + sqrt(1 + t)))/((t sqrt(1 + t)) (1 + sqrt(1 + t))) :.

= underset(t -> 0)(lim) (1 - (1 + t))/((t sqrt(1 + t)) (1 + sqrt(1 + t))) :.

= underset(t -> 0)(lim) (- t)/(( t sqrt(1 + t) ) ( 1 + sqrt(1 + t) ))

Viu, consegue perceber que podemos cortar o t do numerador com o do denominador?

Assim é possível subsitutir o valor 0 na expressão e sucesso!!!

Passo 4

Vamos lá então:

underset(t -> 0)(lim) (- t)/((t sqrt(1 + t)) (1 + sqrt(1 + t))) :.

= underset(t -> 0)(lim) (- 1)/((sqrt(1 + t)) (1 + sqrt(1 + t))) :.

= (- 1)/((sqrt(1 + 0)) (1 + sqrt(1 + 0))) :.

= - (1)/(2)

Assim, temos que:

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t) = - (1)/(2)

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t) = - (1)/(2)

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Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ 1 x - 1 x
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x - x
Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) .