Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 23
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
Passo 1
A primeira coisa que podemos tentar é substituir para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!
Como :
Logo,
Opa, chegamos numa indeterminação do tipo . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital
Passo 2
Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.
Como :
Logo,
Pra facilitar nossa vida vamos separar esse limite, olha só:
O primeiro limite vai ficar o seguinte:
Fazendo :
Logo,
Passo 3
Agora vamos dar uma olhada no segundo limite:
Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:
Assim,
Se fizermos , vamos cair numa indeterminação do tipo . Então já vamos partir para a regra de L’Hospital. Derivando,
Para :
Isto é,
Eita, caímos numa indeterminação novamente. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!
Passo 4
Derivando novamente:
Logo,
Fazendo
Pra finalizar, basta voltarmos para o limite inicial:
Portanto,