Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 23

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → π 4 ⁡ sec 2 ⁡ x - 2 t g x 1 + cos ⁡ 4 x

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = π / 4 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = sec 2 ⁡ π / 4 - 2 t g π / 4 1 + cos ⁡ 4 × π / 4

Como sec ⁡ π 4 = 1 cos ⁡ π 4 :

L = 1 2 / 2 2 - 2 × 1   1 - 1

Logo,

L = 0 / 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → π 4 ⁡ sec 2 ⁡ x - 2 t g x 1 + cos ⁡ 4 x

Como sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x :

L = lim x → π 4 ⁡ 1 co s 2 x ⁡ - 2 s e n x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ 4 x

Logo,

L = lim x → π 4 ⁡   1 - 2 s e n x cos ⁡ x c o s 2 x 1 + cos ⁡ 4 x

Pra facilitar nossa vida vamos separar esse limite, olha só:

L = lim x → π 4 ⁡   1 c o s 2 x × lim x → π 4 ⁡   1 - 2 s e n x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ 4 x

O primeiro limite vai ficar o seguinte:

L 1 = lim x → π 4 ⁡   1 c o s 2 x

Fazendo x = π / 4 :

L 1 = 1 2 2 2  

Logo,

L 1 = 2

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada no segundo limite:

L 2 = lim x → π 4 ⁡   1 - 2 s e n x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ 4 x

Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x

Assim,

L 2 = lim x → π 4 ⁡   1 - s e n 2 x 1 + cos ⁡ 4 x

Se fizermos x = π 4 , vamos cair numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então já vamos partir para a regra de L’Hospital. Derivando,

L 2 = lim x → π 4 ⁡   - c o s 2 x × 2 - s e n 4 x × 4

Para x = π 4 :

L 2 = cos ⁡ π 2 2 s e n π

Isto é,

L = 0 0

Eita, caímos numa indeterminação novamente. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!

Passo 4

L 2 = lim x → π 4 ⁡   c o s 2 x 2 s e n 4 x

Derivando novamente:

L 2 = lim x → π 4 ⁡   - s e n 2 x × 2 2 c o s 4 x × 4

Logo,

L 2 = lim x → π 4 ⁡ - s e n 2 x 4 c o s 4 x

Fazendo x = π 4 :

L 2 = - s e n π 2 4 c o s π → L 2 = 1 4

Pra finalizar, basta voltarmos para o limite inicial:

L = L 1 × L 2 → L = 2 × 1 4

Portanto,

L = 1 2

Resposta

L = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o limite, caso ele exista: lim x → π 2 ⁡ 3 c o s ⁡ ( x ) 2 x - π
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = s e n ( x ) g x = cos ⁡ x (a,b) = (0, π )
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = x 3 g x = x 2 (a,b) = (0,2)
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = x + 5 g x = x + 3 (a,b) = (-4,-1)
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = s e n ( x ) g x = cos ⁡ x (a,b) = (0, π 2 )