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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 61

61. Se f ´ ´ (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f ´ (x + Delta x) - f ´ ( x ))/(Delta x) ache f ´ ´ ( x ) se f (x) = a x^2 + b x .

Passo 1

Como do enunciado não existem muitas informações para resolução da questão, basta observar que o que ele pede é para encontrarmos a segunda derivada de uma função f ( x ) dada, utilizando a definição formal do conceito de derivada. Temos ainda do enunciado que :

f ´ ´ (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f ´ (x + Delta x) - f ´ ( x ))/(Delta x) e que f (x) = a x^2 + b x .

Passo 2

Como pode-se perceber para encontrar a segunda derivada da função precisamos saber primeiro qual é a sua primeira derivada. A partir dai temos que a primeira derivada e:

f ‘ ( x ) = 2 a x + b .

Passo 3

Agora que encontramos quem é f ‘ ( x ) , basta utilizarmos a definição de segunda derivada fornecida pelo enunciado. Assim, temos:

f ´ ´ (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f ´ (x + Delta x) - f ´ ( x ))/(Delta x)

f ´ ´ (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (2 a (x + Delta x) + b - [ 2 a x + b ])/(Delta x)

f ´ ´ (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (2 a x + 2 a Delta x + b - 2 a x - b)/(Delta x)

f ´ ´ (x) = (2 a Delta x)/(Delta x) = 2 a

Resposta

f ’ ’ ( x ) = 2 a

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