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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 62

62. Use a fórmula do Exercício 61 para encontrar f ´ ´ x se f x = a x .

Passo 1

Da mesma forma que na questão 61, o enunciado não nos fornece muitas informações. Ele também nos pede para encontrarmos a segunda derivada de uma função considerando que f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f ´ x + ∆ x - f ´ ( x ) ∆ x   e que f x = a x

Passo 2

Como pode-se perceber para encontrar a segunda derivada da função precisamos saber primeiro qual é a sua primeira derivada. A partir dai temos que a primeira derivada é:

f   ‘ x =   - a x 2 ( obtida utilizando o conceito de derivada de ax-n)

Passo 3

Agora que encontramos quem é f   ‘ ( x )   , basta utilizarmos a definição de segunda derivada fornecida pelo enunciado. Assim, temos:

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f ´ x + ∆ x - f ´ ( x ) ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - a x + ∆ x 2 ∆ x - - a x 2 ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - a x + ∆ x 2 ∆ x + a x 2 ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - a ( x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 ) ∆ x + a x 2 ∆ x

Passo 4

Ao observarmos a expressão acima percebemos que para facilitar a resolução devemos retirar o m.m.c. do numerador da mesma. Assim, ao retirar o m.m.c. do numerador temos:

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - a x 2 + a x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 . x 2 ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - a x 2 + a x 2 + 2 a x ∆ x + a ∆ x 2 x 4 + 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 . 1 ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ a ∆ x ( 2 x + ∆ x ) x 4 + 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 . 1 ∆ x

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 a x ∆ x + a ∆ x x 4 + 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2

Passo 5

Para resolver o limite acima basta dividirmos ambos os membros da equação pelo polinômio de maior grau do denominador. Assim ficamos com:

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 a x ∆ x + a ∆ x x 4 ( x 4 + 2 x 3 ∆ x + x 2 ∆ x 2 ) x 4

f ´ ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 a x 3 = 2 a x 3

Resposta

f ’ ’ ( x )   =   2 a / x 3

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