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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 20

Calcule o limite.

underset(h -> 0)(lim) (root(3)(8 + h) - 2)/(h)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 0 . Então vamos lá!

L = (root(3)(8 + 0) - 2)/(0)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo root(3)(8 + h) - 2 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a b + b^2)

Como só temos o termo a - b onde a = root(3)(8 + h) e b = 2 , vamos ter que multiplicar por (a^2 + a b + b^2) .

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior!

L = underset(h -> 0)(lim) (root(3)(8 + h) - 2)/(h)

Agora vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

(root(3)(8 + h))^2 + (root(3)(8 + h)) * (2) + (2)^2

Assim,

L = underset(h -> 0)(lim) (root(3)(8 + h) - 2)/(h) * ((root(3)(8 + h))^2 + (root(3)(8 + h)) * (2) + (2)^2)/((root(3)(8 + h))^2 + (root(3)(8 + h)) * (2) + (2)^2)

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(h -> 0)(lim) ((root(3)(8 + h))^3 - 2^3)/(h * ((root(3)(8 + h))^2 + (root(3)(8 + h)) * (2) + (2)^2))

Elevando os termos ao cubo:

L = underset(h -> 0)(lim) ((8 + h) - 8)/(h * ((root(3)(8 + h))^2 + 2 root(3)(8 + h) + 4))

Isto é,

L = underset(h -> 0)(lim) (h)/(h * ((root(3)(8 + h))^2 + 2 root(3)(8 + h) + 4))

Passo 3

Pra finalizar, vamos cortar o h e finalmente achar o limite.

L = underset(h -> 0)(lim) (1)/((root(3)(8 + h))^2 + 2 root(3)(8 + h) + 4)

Agora basta fazermos h = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = underset(h -> 0)(lim) (1)/((root(3)(8))^2 + 2 root(3)(8) + 4)

Fazendo as contas:

L = (1)/(4 + 4 + 4) -> L = (1)/(12)

Resposta

L = (1)/(12)

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47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .47. lim x → - ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005
47-50. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em - ∞ . Encontre um número negativo N tal que f x - Lϵ se xN .49. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2 ;ϵ = 0,1
51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.53. lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2
41. a) Encontre os valores de x 1 e x 2 na figura a seguir.b) Encontre um número positivo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .c) Encontre um número negativo N , tal que: x 2 1 + x 2 - 1ϵ Com xN .