Calcule o limite.

underset(h -> 0)(lim) ((2 + h)^4 - 16)/(h)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 0 . Então vamos lá!

L = ((2 + 0)^4 - 16)/(0)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Inicialmente vamos mexer no numerador.

N = (2 + h)^4 - 16

Como (2 + h)^4 = (2 + h)^2 e 16 = 4^2 :

N = ((2 + h)^2)^2 - 4^2

Para fatorar, vamos usar a diferença de quadrado! Deixa-me te lembrar a expressão:

a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)

Assim,

N = ((2 + h)^2 - 4) ((2 + h)^2 + 4)

Opa, mas a apareceu mais uma diferença de quadrado olha só:

(2 + h)^2 - 4 = (2 + h)^2 - 2^2

Logo,

(2 + h)^2 - 4 = ((2 + h) - 2) ((2 + h) + 2)

Simplificando:

(2 + h)^2 - 4 = (h) (h + 4)

Então o numerador vai ficar o seguinte:

N = (h) (h + 4) ((2 + h)^2 + 4)

Passo 3

Voltando para o limite, temos:

L = underset(h -> 0)(lim) ((h) (h + 4) ((2 + h)^2 + 4))/(h)

Cortando o h :

L = underset(h -> 0)(lim) (h + 4) ((2 + h)^2 + 4)

Pra finalizar, basta fazermos x = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = (0 + 4) * ((2 + 0)^2 + 4)

Fazendo as contas:

L = 32

Resposta

L = (1)/(8)

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