Calcule o limite.

lim t → 0 ⁡ a 2 + b t - a t ,     a > 0

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 0 . Então vamos lá!

L = a 2 + b ⋅ 0 - a 0

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo a 2 + b t - a a ideia será multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de a 2 + b t - a   será:

a 2 + b t + a

Assim,

L = lim t → 0 ⁡ a 2 + b t - a t ⋅ a 2 + b t + a a 2 + b t + a

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim t → 0 ⁡ a 2 + b t 2 - a 2 t a 2 + b t + a

Elevando os termos ao quadrado:

L = lim t → 0 ⁡ a 2 + b t - a 2 t a 2 + b t + a

Logo,

L = lim t → 0 ⁡ b t t a 2 + b t + a

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o t . Assim,

L = lim t → 0 ⁡ b a 2 + b t + a

Agora basta fazermos t = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = b a 2 + a

Como a > 0 :

L = b a + a = b 2 a

Resposta

L = b 2 a

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