Enunciado

Calcule o limite.

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(a^2 + b t) - a)/(t) , a > 0

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 0 . Então vamos lá!

L = (sqrt(a^2 + b * 0) - a)/(0)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo sqrt(a^2 + b t) - a a ideia será multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de sqrt(a^2 + b t) - a será:

sqrt(a^2 + b t) + a

Assim,

L = underset(t -> 0)(lim) (sqrt(a^2 + b t) - a)/(t) * (sqrt(a^2 + b t) + a)/(sqrt(a^2 + b t) + a)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(t -> 0)(lim) ((sqrt(a^2 + b t))^2 - a^2)/(t (sqrt(a^2 + b t) + a))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(t -> 0)(lim) (a^2 + b t - a^2)/(t (sqrt(a^2 + b t) + a))

Logo,

L = underset(t -> 0)(lim) (b t)/(t (sqrt(a^2 + b t) + a))

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o t . Assim,

L = underset(t -> 0)(lim) (b)/(sqrt(a^2 + b t) + a)

Agora basta fazermos t = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = (b)/(sqrt(a^2) + a)

Como a > 0 :

L = (b)/(a + a) = (b)/(2 a)

Resposta

L = (b)/(2 a)

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