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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 26

Calcule o limite.

underset(x -> 4)(lim) (3 - sqrt(5 + x))/(1 - sqrt(5 - x))

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 4 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = (3 - sqrt(5 + 4))/(1 - sqrt(5 - 4))

Como a e b são positivos:

L = (3 - 3)/(1 - 1) -> L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo 3 - sqrt(5 + x) e 1 - sqrt(5 - x) a ideia será multiplicar pelo conjugado de ambos em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de 3 - sqrt(5 + x) será:

3 + sqrt(5 + x)

Então nosso limite fica assim ó:

L = underset(x -> 4)(lim) (3 - sqrt(5 + x))/(1 - sqrt(5 - x)) xx (3 + sqrt(5 + x))/(3 + sqrt(5 + x))

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim,

L = underset(x -> 4)(lim) (3^2 - (sqrt(5 + x))^2)/((1 - sqrt(5 - x)) (3 + sqrt(5 + x)))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(x -> 4)(lim) (9 - (5 + x))/((1 - sqrt(5 - x)) (3 + sqrt(5 + x)))

Logo,

L = underset(x -> 4)(lim) (4 - x)/((1 - sqrt(5 - x)) (3 + sqrt(5 + x)))

Passo 3

Com isso, resolvemos um dos problemas, mas o limite ainda dará 0 // 0 . Então agora vamos aplicar o mesmo processo para o 1 - sqrt(5 - x) . Nesse caso o conjugado será:

1 + sqrt(5 - x)

Multiplicando pelo conjugado em cima e embaixo:

L = underset(x -> 4)(lim) (4 - x)/((1 - sqrt(5 - x)) (3 + sqrt(5 + x))) xx (1 + sqrt(5 - x))/(1 + sqrt(5 - x))

Logo,

L = underset(x -> 4)(lim) ((4 - x) (1 + sqrt(5 - x)))/((1 - sqrt(5 - x)) (3 + sqrt(5 + x)) (1 + sqrt(5 - x)))

Arrumando o denominador:

L = underset(x -> 4)(lim) ((4 - x) (1 + sqrt(5 - x)))/((3 + sqrt(5 + x)) (1 - sqrt(5 - x)) (1 + sqrt(5 - x)))

Novamente apareceu o termo da forma (a - b) (a + b) . Dessa forma,

L = underset(x -> 4)(lim) ((4 - x) (1 + sqrt(5 - x)))/((3 + sqrt(5 + x)) (1^2 - (sqrt(5 - x))^2))

Elevando ao quadrado e simplificando:

L = underset(x -> 4)(lim) ((4 - x) (1 + sqrt(5 - x)))/((3 + sqrt(5 + x)) (x - 4))

Passo 4

Se colocarmos o - 1 em evidencia no numerador, o termo 4 - x vira x - 4 e conseguimos simplificar com o x - 4 de denominador. Logo,

L = underset(x -> 4)(lim) (- (x - 4) (1 + sqrt(5 - x)))/((3 + sqrt(5 + x)) (x - 4))

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o (x - 4) . Assim,

L = underset(x -> 4)(lim) (- (1 + sqrt(5 - x)))/((3 + sqrt(5 + x)))

Agora basta fazer x = 4 e correr pro abraço.

L = - (1 + sqrt(1))/(3 + sqrt(9))

Portanto,

L = - (1)/(3)

Resposta

L = - (1)/(3)

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