Calcule o limite.

underset(x -> a)(lim) (root(3)(x) - root(3)(a))/(x - a) , a != 0

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o a . Então vamos lá!

L = (root(3)(a) - root(3)(a))/(a - a)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo root(3)(x) - root(3)(a) como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m^3 - n^3 = (m - n) (m^2 + m n + n^2)

Como só temos o termo m - n onde m = root(3)(x) e n = root(3)(a) , vamos ter que multiplicar por (a^2 + a b + b^2) .

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior!

L = underset(x -> a)(lim) (root(3)(x) - root(3)(a))/(x - a)

Agora vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

(root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * (root(3)(a)) + (root(3)(a))^2

Assim,

L = underset(x -> a)(lim) (root(3)(x) - root(3)(a))/(x - a) * ((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * (root(3)(a)) + (root(3)(a))^2)/((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * (root(3)(a)) + (root(3)(a))^2)

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> a)(lim) ((root(3)(x))^3 - (root(3)(a))^3)/((x - a) (root(3)(x^2) + root(3)(x) * root(3)(a) + root(3)(a^2)))

Elevando os termos ao cubo:

L = underset(x -> a)(lim) (x - a)/((x - a) (root(3)(x^2) + root(3)(x) * root(3)(a) + root(3)(a^2)))

Passo 3

Pra finalizar, vamos cortar o x - a e finalmente achar o limite.

L = underset(x -> a)(lim) (1)/(root(3)(x^2) + root(3)(x) * root(3)(a) + root(3)(a^2))

Agora basta fazermos x = a e correr pro abraço. Assim,

L = (1)/(root(3)(a^2) + root(3)(a) * root(3)(a) + root(3)(a^2))

Portanto,

L = (1)/(3 root(3)(a^2))

Resposta

L = (1)/(3 root(3)(a^2))

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