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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 13

Calcule o limite.

underset(x -> 2)(lim) (x^2 - 5 x + 6)/(x^2 - 12 x + 20)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 2 . Então vamos lá!

L = (2^2 - 5 * 2 + 6)/(2^2 - 12 * 2 + 20)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x^2 - 5 x + 6

Assim,

x = (5 +- sqrt((- 5)^2 - 4 * 1 * 6))/(2 * 1)

Arrumando as coisas:

x = (5 +- sqrt(1))/(2)

Logo,

x = 3 ou x = 2

Fatorando:

x^2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o denominador.

x^2 - 12 x + 20

Assim,

x = (12 +- sqrt((- 12)^2 - 4 * 1 * 20))/(2 * 1)

Arrumando as coisas:

x = (12 +- sqrt(64))/(2)

Logo,

x = 10 ou x = 2

Fatorando:

x^2 - 12 x + 20 = (x - 10) (x - 2)

Passo 4

Voltando para o limite:

L = underset(x -> 2)(lim) ((x - 3) (x - 2))/((x - 10) (x - 2))

Simplificando:

underset(x -> 2)(lim) (x - 3)/(x - 10)

Pra finalizar, basta fazermos x = 2 e correr pro abraço. Assim,

L = (2 - 3)/(2 - 10)

Fazendo as contas:

L = (1)/(8)

Resposta

L = (1)/(8)

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51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.56. lim x → - ∞ ⁡ 2 x = 0
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