Calcule o limite.

lim x → 2 ⁡ x 2 - 5 x + 6 x 2 - 12 x + 20

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 2 . Então vamos lá!

L = 2 2 - 5 ⋅ 2 + 6 2 2 - 12 ⋅ 2 + 20

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x 2 - 5 x + 6

Assim,

x = 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 6 2 ⋅ 1

Arrumando as coisas:

x = 5 ± 1 2

Logo,

x = 3 ou x = 2

Fatorando:

x 2 - 5 x + 6 = x - 3 x - 2

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o denominador.

x 2 - 12 x + 20

Assim,

x = 12 ± - 12 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 20 2 ⋅ 1

Arrumando as coisas:

x = 12 ± 64 2

Logo,

x = 10 ou x = 2

Fatorando:

x 2 - 12 x + 20 =   x - 10 x - 2

Passo 4

Voltando para o limite:

L = lim x → 2 ⁡ x - 3 x - 2 x - 10 x - 2

Simplificando:

lim x → 2 ⁡ x - 3 x - 10

Pra finalizar, basta fazermos x = 2 e correr pro abraço. Assim,

L = 2 - 3 2 - 10

Fazendo as contas:

L = 1 8

Resposta

L = 1 8

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